• Pablo Ziffer

Armonía Negativa - Resonancia Superior / Inferior - Polaridad


Antecedentes para "Jacob Collier´s negative harmony" y Ernst Levy - "A theory of harmony"

Orígenes de la Armonía negativa y principios de polaridad

La Armonía

nota: hay que tener en cuenta que algunos de los conceptos que siguen eran válidos en la Schola Cantorum hacia el 1897-1898. Hoy en día resultan de un dogmatismo intolerable y presentan una visión en algunos aspectos ampliamente superada. Sin embargo es muy útil conocerlos ya que a pesar de su carácter fundamentalista, encierran parte de una verdad más amplia. Los avances posteriores extienden y no necesariamente invalidan lo anterior.

En el S.XX se han tomado caminos opuestos y con grandes resultados, pero es interesante conocer también las ideas anteriores, que siguen siendo fuente de inspiración para nuevas direcciones en la aplicación de conceptos armónicos.

Nociones Generales

Llamamos Armonía a la emisión simultánea de varias melodías diferentes.

Esta emisión simultánea origina combinaciones de sonidos a las que los tratados de armonía le han dado el nombre de Acordes.

Siendo la música un arte de movimiento y de sucesión, los acordes, en tanto combinaciones de sonidos, no aparecen sino por el efecto de detención del movimiento de las partes melódicas, de las cuales están necesariamente compuestos.

Musicalmente, los acordes no existen, y la armonía no es la ciencia de los acordes.

El estudio de los acordes como entidades aisladas, es desde el punto de vista musical, un error estético absoluto, ya que la armonía proviene de la melodía, y no debe jamás ser separada de su aplicación.

La notación representa la sucesión (melodía) en el sentido horizontal, y la simultaneidad (armonía) en el sentido vertical.

Los fenómenos musicales deben siempre ser encarados, gráficamente, en el sentido horizontal (sistema de melodía simultánea) y no en el sentido vertical, como lo hace la ciencia armónica, tal como se enseña en nuestros días.

Orígenes de la Armonía

Diafonía – Discanto – Contrapunto – Polifonía

Por motivo de la estructura de sus órganos vocales, los niños y las mujeres cantan normalmente en una octava más aguda con respecto a la voz de los hombres.

Una cantilena monódica, ejecutada por un conjunto de personas de edades y sexo diferentes, no constituye de ningún modo, como se dice comunmente, un canto al unísono, sino una verdadera sucesión de octavas.

Esta disposición, a causa de una razón fisiológica, está desprovista de cualquier carácter armónico, ya que sólo presenta una duplicación de la misma melodía y no de diferentes melodías ejecutadas simultaneamente.

La pueblo vinculado al canto litúrgico, desde los primeros siglos de la Iglesia Cristiana, cantaba entonces originalmente en octavas.

Algunas veces, ciertas voces poco ejercitadas, llegando con dificultad a las notas muy agudas o muy graves, instintivamente las sustituyeron en la melodía por sonidos intermedios más accesibles, creando así una nueva parte, formando con el canto principal un conjunto a veces feliz, horrible las más de las veces.

Fue sin duda observando este situación, que desde el siglo X, ciertos músicos reconocieron la utilidad de determinar y de escribir estas partes intermedias, reglamentando su yuxtaposición con la melodía principal.

Resultó en principio una suerte de acompañamiento paralelo en cuartas y quintas –raramente en terceras- que se llamó diafonía u organum. A decir verdad, estos primeros ensayos de melodías simultáneas son de un resultado algo mediocre.

Los progresos de la diafonía, durante más de tres siglos, parecieron ser prácticamente nulos; ya que ejemplos del siglo XIII que han sido conservados, presentan todavía aglomeraciones de sonidos totalmente inaceptables para nuestro entendimiento moderno.

El gusto por la ornamentación, muy desarrollado a partir de esta época, hizo justicia con la diafonía y fue sustituyéndola poco a poco por una forma nueva, más libre y artística, que puede considerarse como la primer manifestación característica de la armonía.

Alrededor del canto principal (cantus firmus) que las voces del pueblo mantenían (de ahí tenor), cantantes ejercitados improvisaban ciertas bordaduras, en forma dialogada, que fueron llamadas discanto o canto sobre el libro.

Más adelante, estas improvisaciones libres constituyeron formas determinadas, que fueron señaladas por puntos diversamente colocados contra otros representando la melodía principal.

El contrapunto fue lentamente perfeccionándose; hasta el siglo XV, no fue más que un arte casi rudimentario. Hizo falta la habilidad genial de los maestros del siglo XVI para elevarlo hasta las formas tan expresivas de la música polifónica.

Luego, seguido de la búsqueda y el refinamiento exagerados introducidos en la escritura contrapuntística, esta forma cayó en desuso; pero el hecho de hacer escuchar simultáneamente varias partes vocales o instrumentales diferentes, definitivamente ha subsistido, y no hay duda que ha entrado en nuestro arte musical de una manera definitiva.

Este uso, relativamente reciente, como lo hemos podido observar por esta rápida exposición de sus orígenes, ha enriquecido la música contemporánea con un elemento nuevo, considerado hoy muy importante: la armonía.

La armonía resulta entonces de la superposición de dos o más melodías diferentes.

Es recién llegando al siglo XVII, más de cuatrocientos años después de los primeros intentos y ensayos de yuxtaposición melódicos, que los teóricos comenzaron a discernir y a desprender de la polifonía el verdadero principio generador de la armonía, es decir: el Acorde.

El Acorde

El acorde consiste en la emisión simultánea de varios sonidos diferentes, en donde las relaciones de alturas (frecuencias) están determinadas por la resonancia natural de los cuerpos sonoros.

El acorde, siendo el principio generador de la armonía, no debiera ser su finalidad.

Las combinaciones llamadas acordes en los tratados de armonía no constituyen finalmente un objetivo, ya que no tienen existencia real: son medios armónicos, artificiales la mayor parte de la veces.

[Sólo hay musicalmente un acorde]

El estudio de las melodías nos revela la existencia de las relaciones de entonación, de relaciones o intervalos percibidos por nuestro oído, en virtud de una facultad desarrollada por la educación musical.

Se establece en efecto en nuestro entendimiento, entre las notas consecutivas de una melodía aislada, una perpetua comparación, la cual se aplica igualmente a las notas simultáneas de dos o más melodías concomitantes.

Las relaciones de estos sonidos se manifiestan entonces a la vez en forma melódica y armónica.

En este trabajo inconsciente de comparación y clasificación, cada nota toma, en virtud de su relación con las demás, un valor al cual le debe su significado y efecto estético.

Igualmente en las relaciones melódicas como en las armónicas, este valor puede ser absoluto o relativo.

Una nota de la cual apreciamos su valor absoluto es llamada prima, ya que constituye un punto de partida al cual referimos las otras notas para juzgar su valor.

Una nota de la cual apreciamos su valor en relación a otra es llamada derivada (segunda, tercera, quinta, etc.).

Llamamos intervalo la relación existente entre la altura de dos sonidos.

La altura o frecuencia de un sonido varía según la cantidad de vibraciones sonoras que lo constituyen.

Nociones de Acústica

Las leyes que rigen las relaciones de los sonidos, es decir de las relaciones entre las vibraciones, son del dominio de la ciencia, más específicamente de la acústica.

El estudio de los movimientos vibratorios es una muy vasta de la física: no es necesario ahora involucrarse. De todas maneras es útil exponer brevemente lo que concierne a las vibraciones sonoras.

Todo cuerpo posee en diferentes grados la capacidad de vibrar, es decir que sus moléculas constitutivas, separadas por una causa exterior cualquiera de su punto de equilibrio natural, tienden a volver a través de una serie de oscilaciones de más en más pequeñas de un lado y otro de este punto.

Estas oscilaciones o vibraciones son comparables al movimiento de un péndulo alejado con la mano de su posición vertical y luego soltado.

Las vibraciones sonoras se propagan a través de un medio elástico (el aire, generalmente) que choca con nuestro oído y constituyen el sonido.

Se utilizan para la producción de los sonidos musicales, cuerpos sólidos (metales, madera, cueros) puestos en vibración por la percusión (timbales, piano), o por el frotamiento (instrumentos de arco) o por el pinzamiento (arpas, guitarras), o una columna de aire limitada dentro del interior de un tubo rígido (instrumentos de viento, órgano).

En esta última categoría de instrumentos, no es como a veces se cree, el tubo el que vibra, sino la columna de aire. Esta se comporta sensiblemente como una cuerda tendida entre dos puntos fijos.

Se concibe que la puesta en vibración de esta especie de cuerda aérea no pueda operarse ,mediante los procedimientos utilizados para con los cuerpos sólidos: se obtiene por el soplido, humano o artificial, bajo ciertas condiciones de tensión y de emisión.

Las formas de producción del sonido varían entonces según la naturaleza del cuerpo vibrante, pero los fenómenos sonoros son idénticos.

El número de vibraciones que un cuerpo puede producir en un espacio de tiempo determinado está en relación directa y rigurosamente constante con la acuidad del sonido que resulta. Así, a la cantidad de 435 vibraciones por segundo, por ejemplo, corresponderá siempre un sonido idéntico: el La del diapasón normal, cualesquiera sean la materia vibrante y la intensidad de la emisión.

Todo cuerpo sonoro puede hacer escuchar una infinidad de sonidos de acuidad diferente, sin que sea necesario provocar un cambio en sus dimensiones, su tensión, su temperatura, su densidad, etc…

Sin que ninguna de esas condiciones sea modificada, un cuerpo que vibra aisladamente en toda su extensión hace escuchar un sonido invariable, el más grave de todos los que es capaz de emitir.

Este sonido da nacimiento a todos los otros más agudos, y determina su entonación relativa, en virtud de leyes inmutables sobre las que reposa todo nuestro sistema armónico, como lo veremos por las experiencias siguientes.

Resonancia Superior – Acorde Mayor

Supongamos, por ejemplo, que el sonido más grave emitido por una cuerda convenientemente tensada sea el Do:


esta cuerda, ejecutando en toda su longitud un número determinado de vibraciones por segundo, presenta entre sus dos extremidades una suerte de abultamiento que podemos, exagerando, representarlo de la manera siguiente:


Es suficiente con tocarla, incluso muy suavemente, en la mitad de su longitud, para determinar inmediatamente vibraciones parciales en cada una de sus mitades, de un lado y del otro del punto tocado. Este fenómeno, bien conocido por quienes tocan instrumentos de cuerda, tiene como efecto duplicar el número de vibraciones y de elevar el sonido emitido una octava:


la cuerda toma ahora el aspecto siguiente:


y continúa vibrando en la octava aguda, incluso después de haber dejado de tocarla en la mitad.

[Una vez más habría que insistir en el carácter esencialmente natural de los fenómenos de la resonancia armónica que estamos tratando.

Los cuerpos sonoros tienen una verdadera predisposición a vibrar preferentemente en sus partes alícuotas más simples (1/2, 1/3, etc.) y a hacer escuchar sus armónicos consonantes (octava, quinta, etc.).

La mayoría de los instrumentos de viento no producen más que sonidos armónicos. El órgano sólo utiliza los sonidos fundamentales; Incluso la emisión de estos sonidos presenta a veces, en los registros graves, verdaderas complicaciones a los constructores.

En cuanto a las cuerdas, su propensión a vibra parcialmente es casi manifiesta. Acabamos de ver que el número de vibraciones de la octava superior, con respecto al sonido tomado como punto de partida, es rigurosamente igual al doble. Parecería lógico que el fenómeno de la octava armónica no pueda realizarse sobre una cuerda tensada sino por la división en dos partes rigurosamente iguales. La experiencia demuestra por el contrario que esta división puede soportar un margen de desplazamiento considerable, sin modificar el sonido producido.

¿Quién podría calificar de exacto (en el sentido matemático de la palabra) la operación que consiste en tocar una cuerda en su parte media con el espesor de la mano, como lo hacen los arpistas, o con el largo del dedo, como lo hacen los violinistas, para hacer escuchar la octava armónica?

La justeza de los sonidos así emitidos, de alguna manera automáticamente, proviene entonces sin duda, de un fenómeno natural, independiente de la dificultad, o mismo de la imposibilidad, que encontramos en producir los armónicos más elevados, más allá de un cierto límite variables según los instrumentos.

Siendo esta suerte de emisión automática impracticable de la misma manera para los armónicos inferiores, se ha creído poder rechazar su carácter natural, su existencia e incluso la legitimidad de las deducciones relativas a lo que se ha convenido en llamar resonancia inferior. La lectura de lo que sigue al respecto de la resonancia inferior será suficiente para mostrar el valor de esta objeción.]

La misma operación puede hacerse también tocando la cuerda en un tercio de su longitud:


el número de vibraciones es triplicado; la cuerda suena una quinta arriba:


al cuarto de su longitud:


el número de vibraciones es cuadruplicado; la cuerda suena a la doble octava:


al quinto de su longitud:


el número de vibraciones es quintuplicado; la cuerda suena a una tercera mayor:


al sexto de su longitud:


el número de vibraciones es sextuplicado; la cuerda suena a una octava arriba de la quinta:


Cada uno de estos sonidos continúa, como la primera octava a hacerse escuchar naturalmente, en tanto la cuerda vibre: es el fenómeno conocido con el nombre de resonancia armónica superior.

Los seis primeros sonidos así obtenidos forman, con respecto al sonido generador, los intervalos de octava, quinta, doble octava, tercera mayor, octava de la quinta:


Suprimiendo las duplicaciones, se reducen a tres:


de los cuales la emisión simultánea constituye la armonía designada comunmente con el nombre de acorde perfecto mayor.

Resonancia Inferior – Acorde Menor

Tomemos ahora una cuerda tal que la sexta parte de su longitud total produzca un sonido determinado: por ejemplo, el mi agudo,


que caracteriza al acorde mayor engendrado por la experiencia precedente. , Como hemos visto es suficiente tocar ligeramente la cuerda en el punto conveniente para determinar el número de vibraciones correspondientes a este mi, que tomaremos como punto de partida sin preocuparnos por el resto de la cuerda en puntillado en la figura que sigue:


[En esta segunda experiencia, hemos considerado la fracción de cuerda tomada como punto de partida como igual a 1/6, con la intención de fijar bien las ideas, y de tornar nuestra demostración más accesible a quienes estén menos familiarizados con los razonamientos matemáticos. Es conveniente siempre observar que esta experiencia no es completamente realizable en las condiciones anteriormente citadas.

Para obtener la resonancia natural, en efecto, es necesario que la parte que vibra de la cuerda sea al mismo tiempo parte alícuota, es decir igual a 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, etc... 1/n.

El caso se verifica cunado se dobla la longitud tomada como unidad:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, parte alícuota;

y cuando se la triplica:

1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, parte alícuota;

pero ya no se verifica más cuando se cuadruplica:

o cuando se la quintuplica:

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6, irreducible.

En estos últimos dos casos, los armónicos inferiores no pueden entonces producirse naturalmente, tocando ligeramente la cuerda en el punto conveniente. Es por esta razón que escogiendo el largo 1/6 como punto de partida, no estamos preocupados por el resto de la cuerda.

De todas maneras no habría que concluir que esta segunda experiencia ha sido hecha por necesidades de la causa y que por eso no se basa en hechos reales.

Podría elegirse una curda 10 veces más larga, y tomar como punto de partida una fracción igual a 1/60, es decir un largo igual al que hemos tomado, y entonces podría constatarse que el fenómeno de la resonancia inferior se verifica práctica y naturalmente sobre toda la extensión de la cuerda.

En efecto, cada largo correspondiente a un sonido del acorde menor es al mismo tiempo parte alícuota de la cuerda, a saber:

el mi, primario → = 1/60

el mi, octava grave → = 2/60 = 1/30

el la, quinta grave → = 3/60 = 1/20

el mi, doble octava grave → = 4/60 = 1/15

el do, tercera mayor grave → = 5/60 = 1/12

el la, octava de la quinta grave → = 6/60 = 1/10]

Duplicando el largo de la parte vibrante,


disminuiremos la mitad del número de vibraciones, y el sonido bajará una octava:


Triplicando el largo,


el número de vibraciones descenderá al tercio, y el sonido a la quinta grave.


Cuadruplicando el largo,


el número de vibraciones será del cuarto, y el sonido será la doble octava grave.


Quintuplicando el largo,


el número de vibraciones será del del quinto, y el sonido será la tercera mayor grave.


Finalmente, sextuplicando el largo de la cuerda tomada como punto de partida,


el número de vibraciones, reducido al sexto del primer número, corresponderá en el grave, a la octava de la quinta.


En esta segunda experiencia, deberíamos obtener entonces, sucesivamente, sonidos cada vez más graves, presentando entre ellos mismos intervalos como en la experiencia precedente, pero a la inversa: octava, quinta, doble octava, tercera mayor, octava de la quinta.

Es el fenómeno de la resonancia harmónica inferior:


Estos seis se reducen a tres:


los cuales escuchados en forma simultánea producen la armonía conocida con el nombre de acorde menor.

Los Dos Aspectos Del Acorde

Hay entonces una simetría completa entre las dos resonancias armónicas que proporcionan los intervalos constitutivos del Acorde.

Estos intervalos, lo hemos constatado, son siempre los mismos: quinta, tercera mayor.

El Acorde, resultante de su combinación, es entonces único en principio, como hemos afirmado anteriormente, ya que está siempre compuesto por los mismos elementos. Se presenta sin embargo bajo dos aspectos diferentes, dependiendo si es generado por la resonancia superior o por la resonancia inferior.

En el primer caso, los intervalos se producen del grave al agudo: el sonido primario, al cual relacionamos los los otros, es el más grave de los tres, y el acorde es llamado entonces mayor.

En el segundo caso, los intervalos se producen de lo agudo a lo grave: el sonido primario es el más agudo de los tres, y el acorde es llamado entonces menor.


Cuando acercamos sus notas constitutivas, el Acorde presenta una superposición de intervalos de terceras mayor y menor:


está siempre constituido por los mismos elementos. Sólo, el orden de superposición determina la diferencia entre sus dos aspectos.

La preponderancia atribuida por los armonistas a la nota grave [Esta preponderancia se remonta al establecimiento del bajo continuo, uno de los principios del Renacimiento que más ha contribuido a falsear el estudio de la armonía.] ha hecho considerar generalmente la más grave de las dos terceras como característica del acorde: de ahí las denominaciones de mayor y menor aplicadas indistintamente a los acordes perfectos, a las escalas o a los modos. Estas denominaciones son poco justificadas porque en el acorde llamado menor, el cual no es en absoluto más pequeño que el otro, la nota principal o primaria es la más aguda de las tres: y es entonces ésta la que debe ser tomada como punto de partida, no solamente para el acorde, sino también para la escala que se desprende, en virtud de la ley de simetría que rige los fenómenos de la resonancia armónica. Los Dos Aspectos de la Escala - Los Modos

Ya que el acorde incorrectamente calificado como menor reproduce en orden inverso los elementos constitutivos del acorde llamado mayor, debería ser lo mismo para las escalas correspondientes a las dos formas.

Nada es más verdadero: basta en efecto disponer en su orden normal, del grave al agudo, los sonidos de la escala diatónica, tomando como punto de partida el sonido primario Do, de la resonancia armónica superior, y de disponerlas luego inversamente, de lo agudo a lo grave, partiendo del sonido primario Mi, de la resonancia armónica inferior, para constatar la perfecta simetría de estas escalas musicales:


Todos los elementos de la primera (A), que constituye nuestra escala mayor, se encuentran en la otra (B), pero en orden inverso.

Estamos entonces autorizados a considerar esta escala descendente desde el Mi hasta el Mi como la verdadera escala relativa de la de Do mayor, como el tipo del modo menor.

Esta concepción del modo menor no es para nada nueva: un gran número de monodias antiguas y medievales estaban escritas en este modo. Es solamente hacia la época del S XVII que, por una falsa aplicación de las teorías armónicas, que relacionando todo al bajo, se la ha sustituido con nuestro modo menor actual, con su tipo de escala híbrida e irregular.

Lo que para nosotros constituye el Modo, es simplemente el sentido según el cual se encara el Acorde y su escala correspondiente: dependiendo de si se toma como punto de partida la nota primaria de la resonancia superior, o la de la resonancia inferior, el modo será mayor o menor, para emplear estos términos impropios, que el uso ha consagrado.

El Modo, como el Acorde, que brinda sus intervalos característicos, es entonces único en principio, y susceptible de tomar dos aspectos diferentes y opuestos.

Génesis de la Escala

Es necesario, para constituir el Modo, además de las notas del Acorde, los grados complementarios de la escala, los cuales no se originan directamente de los fenómenos de la resonancia natural.

Podemos evidentemente seguir después del sexto sonido, hacia el agudo o hacia el grave, las dos experiencias anteriores; pero obtenemos así, en lugar de una escala regular, una sucesión indefinida de sonidos, de los cuales los intervalos se tornan de más en más pequeños, y las relaciones de más en más complicadas.


En esta serie, ilimitada como la de los números, solo los sonidos armónicos impares, presentan intervalos nuevos; los otros no pueden ser en efecto, más que duplicaciones de octave de los precedentes.

Muchos de estos intervalos nuevos son completamente extraños a nuestro sistema de escala, y no pueden siquiera reproducirse en nuestro sistema de afinación: tales son los armónicos 7, 11, 13, 14, que figuran en negro en la imagen anterior, y, más allá del 16, un número todavía creciente.

Los sonidos 7 y 11 de la resonancia superior, por ejemplo, son notoriamente más graves que las notas sib y fa# de nuestra escala; el sonido 13 es al contrario más alto que nuestro lab, etc.

Estas particularidades se reencuentran en un sentido inverso en los armónicos correspondientes a la resonancia inferior: los sonidos 7 y 11 son acá más altos que el fa# y el sib de nuestra escala; el sonido 13 es más bajo que que nuestro sol#, etc.

La impresión penosa y confusa que nos producen estos sonidos 7, 11, 13, etc., y la tendencia marcada de nuestro oído a sustituirlos por los sonidos cromáticos temperados: sib, fa#, lab, etc., resultan sin duda de un hábito adquirido, es decir, de nuestra educación musical.