• Pablo Ziffer

Armonía Negativa - Resonancia Superior / Inferior - Polaridad


Antecedentes para "Jacob Collier´s negative harmony" y Ernst Levy - "A theory of harmony"

Orígenes de la Armonía negativa y principios de polaridad

La Armonía

nota: hay que tener en cuenta que algunos de los conceptos que siguen eran válidos en la Schola Cantorum hacia el 1897-1898. Hoy en día resultan de un dogmatismo intolerable y presentan una visión en algunos aspectos ampliamente superada. Sin embargo es muy útil conocerlos ya que a pesar de su carácter fundamentalista, encierran parte de una verdad más amplia. Los avances posteriores extienden y no necesariamente invalidan lo anterior.

En el S.XX se han tomado caminos opuestos y con grandes resultados, pero es interesante conocer también las ideas anteriores, que siguen siendo fuente de inspiración para nuevas direcciones en la aplicación de conceptos armónicos.

Nociones Generales

Llamamos Armonía a la emisión simultánea de varias melodías diferentes.

Esta emisión simultánea origina combinaciones de sonidos a las que los tratados de armonía le han dado el nombre de Acordes.

Siendo la música un arte de movimiento y de sucesión, los acordes, en tanto combinaciones de sonidos, no aparecen sino por el efecto de detención del movimiento de las partes melódicas, de las cuales están necesariamente compuestos.

Musicalmente, los acordes no existen, y la armonía no es la ciencia de los acordes.

El estudio de los acordes como entidades aisladas, es desde el punto de vista musical, un error estético absoluto, ya que la armonía proviene de la melodía, y no debe jamás ser separada de su aplicación.

La notación representa la sucesión (melodía) en el sentido horizontal, y la simultaneidad (armonía) en el sentido vertical.

Los fenómenos musicales deben siempre ser encarados, gráficamente, en el sentido horizontal (sistema de melodía simultánea) y no en el sentido vertical, como lo hace la ciencia armónica, tal como se enseña en nuestros días.

Orígenes de la Armonía

Diafonía – Discanto – Contrapunto – Polifonía

Por motivo de la estructura de sus órganos vocales, los niños y las mujeres cantan normalmente en una octava más aguda con respecto a la voz de los hombres.

Una cantilena monódica, ejecutada por un conjunto de personas de edades y sexo diferentes, no constituye de ningún modo, como se dice comunmente, un canto al unísono, sino una verdadera sucesión de octavas.

Esta disposición, a causa de una razón fisiológica, está desprovista de cualquier carácter armónico, ya que sólo presenta una duplicación de la misma melodía y no de diferentes melodías ejecutadas simultaneamente.

La pueblo vinculado al canto litúrgico, desde los primeros siglos de la Iglesia Cristiana, cantaba entonces originalmente en octavas.

Algunas veces, ciertas voces poco ejercitadas, llegando con dificultad a las notas muy agudas o muy graves, instintivamente las sustituyeron en la melodía por sonidos intermedios más accesibles, creando así una nueva parte, formando con el canto principal un conjunto a veces feliz, horrible las más de las veces.

Fue sin duda observando este situación, que desde el siglo X, ciertos músicos reconocieron la utilidad de determinar y de escribir estas partes intermedias, reglamentando su yuxtaposición con la melodía principal.

Resultó en principio una suerte de acompañamiento paralelo en cuartas y quintas –raramente en terceras- que se llamó diafonía u organum. A decir verdad, estos primeros ensayos de melodías simultáneas son de un resultado algo mediocre.

Los progresos de la diafonía, durante más de tres siglos, parecieron ser prácticamente nulos; ya que ejemplos del siglo XIII que han sido conservados, presentan todavía aglomeraciones de sonidos totalmente inaceptables para nuestro entendimiento moderno.

El gusto por la ornamentación, muy desarrollado a partir de esta época, hizo justicia con la diafonía y fue sustituyéndola poco a poco por una forma nueva, más libre y artística, que puede considerarse como la primer manifestación característica de la armonía.

Alrededor del canto principal (cantus firmus) que las voces del pueblo mantenían (de ahí tenor), cantantes ejercitados improvisaban ciertas bordaduras, en forma dialogada, que fueron llamadas discanto o canto sobre el libro.

Más adelante, estas improvisaciones libres constituyeron formas determinadas, que fueron señaladas por puntos diversamente colocados contra otros representando la melodía principal.

El contrapunto fue lentamente perfeccionándose; hasta el siglo XV, no fue más que un arte casi rudimentario. Hizo falta la habilidad genial de los maestros del siglo XVI para elevarlo hasta las formas tan expresivas de la música polifónica.

Luego, seguido de la búsqueda y el refinamiento exagerados introducidos en la escritura contrapuntística, esta forma cayó en desuso; pero el hecho de hacer escuchar simultáneamente varias partes vocales o instrumentales diferentes, definitivamente ha subsistido, y no hay duda que ha entrado en nuestro arte musical de una manera definitiva.

Este uso, relativamente reciente, como lo hemos podido observar por esta rápida exposición de sus orígenes, ha enriquecido la música contemporánea con un elemento nuevo, considerado hoy muy importante: la armonía.

La armonía resulta entonces de la superposición de dos o más melodías diferentes.

Es recién llegando al siglo XVII, más de cuatrocientos años después de los primeros intentos y ensayos de yuxtaposición melódicos, que los teóricos comenzaron a discernir y a desprender de la polifonía el verdadero principio generador de la armonía, es decir: el Acorde.

El Acorde

El acorde consiste en la emisión simultánea de varios sonidos diferentes, en donde las relaciones de alturas (frecuencias) están determinadas por la resonancia natural de los cuerpos sonoros.

El acorde, siendo el principio generador de la armonía, no debiera ser su finalidad.

Las combinaciones llamadas acordes en los tratados de armonía no constituyen finalmente un objetivo, ya que no tienen existencia real: son medios armónicos, artificiales la mayor parte de la veces.

[Sólo hay musicalmente un acorde]

El estudio de las melodías nos revela la existencia de las relaciones de entonación, de relaciones o intervalos percibidos por nuestro oído, en virtud de una facultad desarrollada por la educación musical.

Se establece en efecto en nuestro entendimiento, entre las notas consecutivas de una melodía aislada, una perpetua comparación, la cual se aplica igualmente a las notas simultáneas de dos o más melodías concomitantes.

Las relaciones de estos sonidos se manifiestan entonces a la vez en forma melódica y armónica.

En este trabajo inconsciente de comparación y clasificación, cada nota toma, en virtud de su relación con las demás, un valor al cual le debe su significado y efecto estético.

Igualmente en las relaciones melódicas como en las armónicas, este valor puede ser absoluto o relativo.

Una nota de la cual apreciamos su valor absoluto es llamada prima, ya que constituye un punto de partida al cual referimos las otras notas para juzgar su valor.

Una nota de la cual apreciamos su valor en relación a otra es llamada derivada (segunda, tercera, quinta, etc.).

Llamamos intervalo la relación existente entre la altura de dos sonidos.

La altura o frecuencia de un sonido varía según la cantidad de vibraciones sonoras que lo constituyen.

Nociones de Acústica

Las leyes que rigen las relaciones de los sonidos, es decir de las relaciones entre las vibraciones, son del dominio de la ciencia, más específicamente de la acústica.

El estudio de los movimientos vibratorios es una muy vasta de la física: no es necesario ahora involucrarse. De todas maneras es útil exponer brevemente lo que concierne a las vibraciones sonoras.

Todo cuerpo posee en diferentes grados la capacidad de vibrar, es decir que sus moléculas constitutivas, separadas por una causa exterior cualquiera de su punto de equilibrio natural, tienden a volver a través de una serie de oscilaciones de más en más pequeñas de un lado y otro de este punto.

Estas oscilaciones o vibraciones son comparables al movimiento de un péndulo alejado con la mano de su posición vertical y luego soltado.

Las vibraciones sonoras se propagan a través de un medio elástico (el aire, generalmente) que choca con nuestro oído y constituyen el sonido.

Se utilizan para la producción de los sonidos musicales, cuerpos sólidos (metales, madera, cueros) puestos en vibración por la percusión (timbales, piano), o por el frotamiento (instrumentos de arco) o por el pinzamiento (arpas, guitarras), o una columna de aire limitada dentro del interior de un tubo rígido (instrumentos de viento, órgano).

En esta última categoría de instrumentos, no es como a veces se cree, el tubo el que vibra, sino la columna de aire. Esta se comporta sensiblemente como una cuerda tendida entre dos puntos fijos.

Se concibe que la puesta en vibración de esta especie de cuerda aérea no pueda operarse ,mediante los procedimientos utilizados para con los cuerpos sólidos: se obtiene por el soplido, humano o artificial, bajo ciertas condiciones de tensión y de emisión.

Las formas de producción del sonido varían entonces según la naturaleza del cuerpo vibrante, pero los fenómenos sonoros son idénticos.

El número de vibraciones que un cuerpo puede producir en un espacio de tiempo determinado está en relación directa y rigurosamente constante con la acuidad del sonido que resulta. Así, a la cantidad de 435 vibraciones por segundo, por ejemplo, corresponderá siempre un sonido idéntico: el La del diapasón normal, cualesquiera sean la materia vibrante y la intensidad de la emisión.

Todo cuerpo sonoro puede hacer escuchar una infinidad de sonidos de acuidad diferente, sin que sea necesario provocar un cambio en sus dimensiones, su tensión, su temperatura, su densidad, etc…

Sin que ninguna de esas condiciones sea modificada, un cuerpo que vibra aisladamente en toda su extensión hace escuchar un sonido invariable, el más grave de todos los que es capaz de emitir.

Este sonido da nacimiento a todos los otros más agudos, y determina su entonación relativa, en virtud de leyes inmutables sobre las que reposa todo nuestro sistema armónico, como lo veremos por las experiencias siguientes.

Resonancia Superior – Acorde Mayor

Supongamos, por ejemplo, que el sonido más grave emitido por una cuerda convenientemente tensada sea el Do:


esta cuerda, ejecutando en toda su longitud un número determinado de vibraciones por segundo, presenta entre sus dos extremidades una suerte de abultamiento que podemos, exagerando, representarlo de la manera siguiente:


Es suficiente con tocarla, incluso muy suavemente, en la mitad de su longitud, para determinar inmediatamente vibraciones parciales en cada una de sus mitades, de un lado y del otro del punto tocado. Este fenómeno, bien conocido por quienes tocan instrumentos de cuerda, tiene como efecto duplicar el número de vibraciones y de elevar el sonido emitido una octava:


la cuerda toma ahora el aspecto siguiente:


y continúa vibrando en la octava aguda, incluso después de haber dejado de tocarla en la mitad.

[Una vez más habría que insistir en el carácter esencialmente natural de los fenómenos de la resonancia armónica que estamos tratando.

Los cuerpos sonoros tienen una verdadera predisposición a vibrar preferentemente en sus partes alícuotas más simples (1/2, 1/3, etc.) y a hacer escuchar sus armónicos consonantes (octava, quinta, etc.).

La mayoría de los instrumentos de viento no producen más que sonidos armónicos. El órgano sólo utiliza los sonidos fundamentales; Incluso la emisión de estos sonidos presenta a veces, en los registros graves, verdaderas complicaciones a los constructores.

En cuanto a las cuerdas, su propensión a vibra parcialmente es casi manifiesta. Acabamos de ver que el número de vibraciones de la octava superior, con respecto al sonido tomado como punto de partida, es rigurosamente igual al doble. Parecería lógico que el fenómeno de la octava armónica no pueda realizarse sobre una cuerda tensada sino por la división en dos partes rigurosamente iguales. La experiencia demuestra por el contrario que esta división puede soportar un margen de desplazamiento considerable, sin modificar el sonido producido.

¿Quién podría calificar de exacto (en el sentido matemático de la palabra) la operación que consiste en tocar una cuerda en su parte media con el espesor de la mano, como lo hacen los arpistas, o con el largo del dedo, como lo hacen los violinistas, para hacer escuchar la octava armónica?

La justeza de los sonidos así emitidos, de alguna manera automáticamente, proviene entonces sin duda, de un fenómeno natural, independiente de la dificultad, o mismo de la imposibilidad, que encontramos en producir los armónicos más elevados, más allá de un cierto límite variables según los instrumentos.

Siendo esta suerte de emisión automática impracticable de la misma manera para los armónicos inferiores, se ha creído poder rechazar su carácter natural, su existencia e incluso la legitimidad de las deducciones relativas a lo que se ha convenido en llamar resonancia inferior. La lectura de lo que sigue al respecto de la resonancia inferior será suficiente para mostrar el valor de esta objeción.]

La misma operación puede hacerse también tocando la cuerda en un tercio de su longitud:


el número de vibraciones es triplicado; la cuerda suena una quinta arriba:


al cuarto de su longitud:


el número de vibraciones es cuadruplicado; la cuerda suena a la doble octava:


al quinto de su longitud:


el número de vibraciones es quintuplicado; la cuerda suena a una tercera mayor:


al sexto de su longitud:


el número de vibraciones es sextuplicado; la cuerda suena a una octava arriba de la quinta:


Cada uno de estos sonidos continúa, como la primera octava a hacerse escuchar naturalmente, en tanto la cuerda vibre: es el fenómeno conocido con el nombre de resonancia armónica superior.

Los seis primeros sonidos así obtenidos forman, con respecto al sonido generador, los intervalos de octava, quinta, doble octava, tercera mayor, octava de la quinta:


Suprimiendo las duplicaciones, se reducen a tres:


de los cuales la emisión simultánea constituye la armonía designada comunmente con el nombre de acorde perfecto mayor.

Resonancia Inferior – Acorde Menor

Tomemos ahora una cuerda tal que la sexta parte de su longitud total produzca un sonido determinado: por ejemplo, el mi agudo,


que caracteriza al acorde mayor engendrado por la experiencia precedente. , Como hemos visto es suficiente tocar ligeramente la cuerda en el punto conveniente para determinar el número de vibraciones correspondientes a este mi, que tomaremos como punto de partida sin preocuparnos por el resto de la cuerda en puntillado en la figura que sigue:


[En esta segunda experiencia, hemos considerado la fracción de cuerda tomada como punto de partida como igual a 1/6, con la intención de fijar bien las ideas, y de tornar nuestra demostración más accesible a quienes estén menos familiarizados con los razonamientos matemáticos. Es conveniente siempre observar que esta experiencia no es completamente realizable en las condiciones anteriormente citadas.

Para obtener la resonancia natural, en efecto, es necesario que la parte que vibra de la cuerda sea al mismo tiempo parte alícuota, es decir igual a 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, etc... 1/n.

El caso se verifica cunado se dobla la longitud tomada como unidad:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, parte alícuota;

y cuando se la triplica:

1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, parte alícuota;

pero ya no se verifica más cuando se cuadruplica:

o cuando se la quintuplica:

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6, irreducible.

En estos últimos dos casos, los armónicos inferiores no pueden entonces producirse naturalmente, tocando ligeramente la cuerda en el punto conveniente. Es por esta razón que escogiendo el largo 1/6 como punto de partida, no estamos preocupados por el resto de la cuerda.

De todas maneras no habría que concluir que esta segunda experiencia ha sido hecha por necesidades de la causa y que por eso no se basa en hechos reales.

Podría elegirse una curda 10 veces más larga, y tomar como punto de partida una fracción igual a 1/60, es decir un largo igual al que hemos tomado, y entonces podría constatarse que el fenómeno de la resonancia inferior se verifica práctica y naturalmente sobre toda la extensión de la cuerda.

En efecto, cada largo correspondiente a un sonido del acorde menor es al mismo tiempo parte alícuota de la cuerda, a saber:

el mi, primario → = 1/60

el mi, octava grave → = 2/60 = 1/30

el la, quinta grave → = 3/60 = 1/20

el mi, doble octava grave → = 4/60 = 1/15

el do, tercera mayor grave → = 5/60 = 1/12

el la, octava de la quinta grave → = 6/60 = 1/10]

Duplicando el largo de la parte vibrante,


disminuiremos la mitad del número de vibraciones, y el sonido bajará una octava:


Triplicando el largo,


el número de vibraciones descenderá al tercio, y el sonido a la quinta grave.


Cuadruplicando el largo,


el número de vibraciones será del cuarto, y el sonido será la doble octava grave.


Quintuplicando el largo,


el número de vibraciones será del del quinto, y el sonido será la tercera mayor grave.


Finalmente, sextuplicando el largo de la cuerda tomada como punto de partida,


el número de vibraciones, reducido al sexto del primer número, corresponderá en el grave, a la octava de la quinta.


En esta segunda experiencia, deberíamos obtener entonces, sucesivamente, sonidos cada vez más graves, presentando entre ellos mismos intervalos como en la experiencia precedente, pero a la inversa: octava, quinta, doble octava, tercera mayor, octava de la quinta.

Es el fenómeno de la resonancia harmónica inferior:


Estos seis se reducen a tres:


los cuales escuchados en forma simultánea producen la armonía conocida con el nombre de acorde menor.

Los Dos Aspectos Del Acorde

Hay entonces una simetría completa entre las dos resonancias armónicas que proporcionan los intervalos constitutivos del Acorde.

Estos intervalos, lo hemos constatado, son siempre los mismos: quinta, tercera mayor.

El Acorde, resultante de su combinación, es entonces único en principio, como hemos afirmado anteriormente, ya que está siempre compuesto por los mismos elementos. Se presenta sin embargo bajo dos aspectos diferentes, dependiendo si es generado por la resonancia superior o por la resonancia inferior.

En el primer caso, los intervalos se producen del grave al agudo: el sonido primario, al cual relacionamos los los otros, es el más grave de los tres, y el acorde es llamado entonces mayor.

En el segundo caso, los intervalos se producen de lo agudo a lo grave: el sonido primario es el más agudo de los tres, y el acorde es llamado entonces menor.


Cuando acercamos sus notas constitutivas, el Acorde presenta una superposición de intervalos de terceras mayor y menor:


está siempre constituido por los mismos elementos. Sólo, el orden de superposición determina la diferencia entre sus dos aspectos.

La preponderancia atribuida por los armonistas a la nota grave [Esta preponderancia se remonta al establecimiento del bajo continuo, uno de los principios del Renacimiento que más ha contribuido a falsear el estudio de la armonía.] ha hecho considerar generalmente la más grave de las dos terceras como característica del acorde: de ahí las denominaciones de mayor y menor aplicadas indistintamente a los acordes perfectos, a las escalas o a los modos. Estas denominaciones son poco justificadas porque en el acorde llamado menor, el cual no es en absoluto más pequeño que el otro, la nota principal o primaria es la más aguda de las tres: y es entonces ésta la que debe ser tomada como punto de partida, no solamente para el acorde, sino también para la escala que se desprende, en virtud de la ley de simetría que rige los fenómenos de la resonancia armónica. Los Dos Aspectos de la Escala - Los Modos

Ya que el acorde incorrectamente calificado como menor reproduce en orden inverso los elementos constitutivos del acorde llamado mayor, debería ser lo mismo para las escalas correspondientes a las dos formas.

Nada es más verdadero: basta en efecto disponer en su orden normal, del grave al agudo, los sonidos de la escala diatónica, tomando como punto de partida el sonido primario Do, de la resonancia armónica superior, y de disponerlas luego inversamente, de lo agudo a lo grave, partiendo del sonido primario Mi, de la resonancia armónica inferior, para constatar la perfecta simetría de estas escalas musicales:


Todos los elementos de la primera (A), que constituye nuestra escala mayor, se encuentran en la otra (B), pero en orden inverso.

Estamos entonces autorizados a considerar esta escala descendente desde el Mi hasta el Mi como la verdadera escala relativa de la de Do mayor, como el tipo del modo menor.

Esta concepción del modo menor no es para nada nueva: un gran número de monodias antiguas y medievales estaban escritas en este modo. Es solamente hacia la época del S XVII que, por una falsa aplicación de las teorías armónicas, que relacionando todo al bajo, se la ha sustituido con nuestro modo menor actual, con su tipo de escala híbrida e irregular.

Lo que para nosotros constituye el Modo, es simplemente el sentido según el cual se encara el Acorde y su escala correspondiente: dependiendo de si se toma como punto de partida la nota primaria de la resonancia superior, o la de la resonancia inferior, el modo será mayor o menor, para emplear estos términos impropios, que el uso ha consagrado.

El Modo, como el Acorde, que brinda sus intervalos característicos, es entonces único en principio, y susceptible de tomar dos aspectos diferentes y opuestos.

Génesis de la Escala

Es necesario, para constituir el Modo, además de las notas del Acorde, los grados complementarios de la escala, los cuales no se originan directamente de los fenómenos de la resonancia natural.

Podemos evidentemente seguir después del sexto sonido, hacia el agudo o hacia el grave, las dos experiencias anteriores; pero obtenemos así, en lugar de una escala regular, una sucesión indefinida de sonidos, de los cuales los intervalos se tornan de más en más pequeños, y las relaciones de más en más complicadas.


En esta serie, ilimitada como la de los números, solo los sonidos armónicos impares, presentan intervalos nuevos; los otros no pueden ser en efecto, más que duplicaciones de octave de los precedentes.

Muchos de estos intervalos nuevos son completamente extraños a nuestro sistema de escala, y no pueden siquiera reproducirse en nuestro sistema de afinación: tales son los armónicos 7, 11, 13, 14, que figuran en negro en la imagen anterior, y, más allá del 16, un número todavía creciente.

Los sonidos 7 y 11 de la resonancia superior, por ejemplo, son notoriamente más graves que las notas sib y fa# de nuestra escala; el sonido 13 es al contrario más alto que nuestro lab, etc.

Estas particularidades se reencuentran en un sentido inverso en los armónicos correspondientes a la resonancia inferior: los sonidos 7 y 11 son acá más altos que el fa# y el sib de nuestra escala; el sonido 13 es más bajo que que nuestro sol#, etc.

La impresión penosa y confusa que nos producen estos sonidos 7, 11, 13, etc., y la tendencia marcada de nuestro oído a sustituirlos por los sonidos cromáticos temperados: sib, fa#, lab, etc., resultan sin duda de un hábito adquirido, es decir, de nuestra educación musical.

Es interesante de todas maneras constatar que este hábito o instinto, tienen su razón científica.

Las relaciones simples

El oído humano, en efecto, procede siempre por las vías más simples en el trabajo reflejo de comparación y clasificación, por el cual aprecia las relaciones de los sonidos.

La impresión especial de reposo y de satisfacción que provoca en nosotros el escuchar el acorde perfecto, basado en las relaciones de las vibraciones más simples de todas, es la mejor prueba de la tendencia de nuestro espíritu.

No es sorprendente que ya que el oído humano prefiere a los armónicos naturales 7, 11, 13, -más complicados que los del acorde perfecto, 3, 5,- sonidos donde la relación de afinación puede establecerse con los elementos mismos de este acorde, es decir con los más simples de los números: 3 y 5.

Si entonces el oído tiende a sustituir, al armónico 7 de la resonancia superior por la nota sib de nuestro sistema temperado, esto se debe a que ésta es la quinta de la quinta grave (1/3 de 1/3) del sonido primario Do; es decir que las vibraciones del sib son a las de do como las de do son a las de re, o como 1 es a 9.

La relación de 1 a 9, es decir del tercio del tercio, es más fácilmente apreciable que la del 1 al 7.

Podemos explicar de la misma manera la preferencia de nuestro oído por el verdadero fa#, tercera mayor (1/5) de re, más alto que el armónico 11, o por el sol#, tercera mayor de mi, más bajo que el armónico 13, etc.

Este razonamiento matemático corrobora plenamente el hábito de nuestro oído, que excluye instintivamente de nuestro sistema musical todos los sonidos armónicos correspondientes a los números primos y a sus múltiplos, a excepción de los números 3 y 5, constitutivos del Acorde.

Así se encuentran sucesivamente eliminados de la serie ilimitada de números armónicos:

1° los números pares (múltiplos de 2), como duplicaciones de octava;

2° los números primos por arriba de 7 inclusive, así como sus múltiplos, como demasiado complicados para nuestro oído.

Rol respectivo del Armónico 3 (quinta) y del Armónico 5 (tercera) en la Géniesis de la Escala

Quedan entonces los armónicos 3 y 5, que, con sus múltiplos, alcanzan a generar, no solamente el Acorde, sino todos los sonidos de nuestro sistema musical moderno.

Sin embargo, la importancia de cada uno de estos dos números es bien diferente en la génesis de la escala.

Si hacemos uso de hecho de la relación 5 (tercera mayor), no llegamos en absoluto a una escala completa.

En resonancia superior, por ejemplo, la tercera mayor de la tercera mayor (1/5 de 1/5) es un sonido nuevo (sol #, en relación al do primario) utilizable en nuestra escala; pero la tercera mayor (si#) de este último sonido reproduce bastante cerca (menos de tres vibraciones por ciento por segundo) una octava del sonido primario do, que nuestro oído no sabría apreciar la diferencia entre estos dos sonidos.

La misma operación practicada en la resonancia inferior, es decir de lo agudo a lo grave, no determinaría tampoco nuevos sonidos. Encontraríamos los mismos tres sonidos que previamente (mi primo, do y sol# o lab,) y más allá un fab, prácticamente imposible de distinguir del mi, octava del sonido primario.

Muy diferente es el resultado, cuando se opera con la más simple de todas las relaciones musicales, el número 3, la Quinta.

Tanto trabajando hacia lo grave como hacia lo agudo, cada quinta nueva (1/3 de la quinta precedente) produce un nuevo sonido, que, por una simple transposición de octava, viene a tomar lugar en nuestra escala cromática: es solamente después de haber generado doce sonidos de esta escala, que reencontramos por la vía de las quintas, el sonido final (si#, por ejemplo) confundido por nuestro oído con el sonido primario do, en virtud de esta tolerancia de afinación debida a la imperfección bien humana de nuestro órgano auditivo.

[Entre los sonidos obtenidos, sea por la serie de terceras (sol# tercera de mi, con respecto al do primario, por ejemplo), sea por la serie de quintas (sib, quinta grave de fa, con respecto a do primo, por ejemplo) y los sonidos temperados normales, no hay ninguna diferencia de afinación prácticamente apreciable. Hay solamente una brecha de cálculo puramente teórico, y sin ningún efecto notable sobre los mismos sonidos.

Es bien distinto sin embargo entre estos mismos sonidos temperados y los de los sonidos armónicos que nuestro oído rechaza, por los motivos que acabamos de exponer. Sus distancias de afinación son perfectamente apreciables, y tornarían impracticable una sustitución de unos por otros.

Podemos juzgar con el ejemplo siguiente:

En la octava media afinada con diapasón normal, el sib temperado, corresponde a un número de vibraciones igual a 460,8 por segundo: el sib de la serie de quintas difiere solamente por un poco menos de dos vibraciones, porque es igual a 459.

Este sib, quinta grave de la quinta grave, respecto del do temperado, soporta ya dos errores que se suman; la diferencia en esta octava, entre la quinta temperada y la quinta exacta no llegan a una vibración por segundo, sobre números que pueden variar entre 250 y 500 vibraciones.

La observación, incluso la más superficial, de la afinación de instrumentos de música nos revela alejamientos notablemente más grandes, ya sea entre dos ejecutantes, tocando o cantando lo más justo posible, o entre dos notas rigurosamente afinadas entre sí a la octava o al unísono, sobre instrumentos de afinación fija, como el piano, el órgano, la flauta, etc. y la limpieza de la ejecución no se ve perjudicada en lo más mínimo.

El séptimo armónico al contrario presenta, con respecto al mismo sib temperado, una diferencia que sobrepasa las ocho vibraciones por segundo, ya que es igual a 452,6. Es entonces notablemente más bajo, y ningún oyente toleraría sin protestar un alejamiento de esta importancia entre dos ejecutantes cualquiera de una orquesta o un conjunto vocal.

Este ejemplo, el cual podría aplicarse a todos los sonidos temperados, es suficiente para reducir a su valor toda una categoría de objeciones engañosas, elevadas por hábiles teóricos, en nombre de la exactitud matemática, con el objeto de invalidar ciertos principios físicos y metafísicos basados en las relaciones de las vibraciones, y principalmente sobre la ley de quintas.

La explicación racional de nuestro sistema musical por las doce quintas, no deja de perdurar como la más satisfactoria, entre todas la teorías a las cuales ha dado lugar hasta ahora la génesis de nuestra escala actual.]

El Ciclo o Círculo de Quintas

La relación de quinta es entonces la única capaz de proporcionar un orden lógico a todos los elementos de la escala, excluyendo todo elemento extraño.

Presentados en este orden, que podemos representar con un círculo, los sonidos se reparten naturalmente en diatónicos y cromáticos.

Las diferentes denominaciones que el uso del sostenido y el bemol nos obliga a emplear para un mismo sonido, se superponen en un mismo punto. Los sonidos primarios de dos escalas relativas de modo diferente (do y mi, por ejemplo) son ubicados simétricamente, y estos modos en sí no son más que un cambio de dirección.

Finalmente, cada uno de los sonidos de nuestro sistema se presenta como una suerte de equilibrio armónico entre sus dos vecinos, situados a igual distancia, uno a la quinta superior, el otro a la quinta inferior.


El genio creador del músico viene a romper y restablecer alternativamente este equilibrio inestable, mediante todos los artificios que le sugieren su ciencia e inspiración.

Pero por más complicado que pueda parecer el proceso empleado para la ruptura o el restablecimiento de este equilibrio, el movimiento que resulta no puede ser más que una oscilación hacia un lado o al otro: hacia las quintas agudas o hacia las quintas graves, como podremos darnos cuenta por el estudio de la Tonalidad y de la Modulación.

La Tonalidad

Valor Estético del Acorde - La Tónica

En virtud de la ley general de movimiento o de sucesión que sirve de base a la música, el Acorde, al igual que cada nota de una melodía, está desprovisto de cualquier efecto estético si es escuchado en forma aislada, es decir en estado de inmobilidad.

No adquiere su valor musical sino por el efecto de una comparación, de una puesta en relación con el que le sigue o el que le precede, es decir, cuando está en movimiento.

Pero este trabajo latente de comparaciones sucesivas no se hace para nada al azar en nuestro entendimiento: procede por el contrario metódicamente, siguiendo ciertas leyes y con la ayuda de ciertos puntos de referencia, necesarios por la imposibilidad que tenemos de apreciar los valores en sí mismos, es decir de una manera absoluta.

Todos los procesos mentales, son esencialmente relativos, y para adquirir cierta precisión, deben ser relacionados a un punto de partida más o menos invariable, a un término único de comparación, o más precisamente a una medida común.

Si queremos darnos cuenta de estos movimientos, buscamos un punto fijo; para evaluar distancias, escojemos un tipo de longitud, una unidad de medición, etc.

Es evidentemente lo mismo para los fenómenos musicales, que, como los números de los cuales son la manifestación estética, son constantemente percibidos, concientemente o no, con respecto a un punto de partida, la tónica, tomando aquí el rol de unto fijo, de unidad de medida, finalmente, en unidad de medida.

La tónica es entonces la unidad de medida necesaria para determinar el valor relativo de todos los fenómenos que se suceden en un fragmento musical.

La Tonalidad en los tres Elementos de la Música

Esta medida, mal que nos pese, no resulta ser siempre la misma: todos los movimientos que percibimos no pueden ser vinculados a un mismo punto fijo, ni todas las distancias a la misma unidad de medida.

Igualmente en música, cuando se trata sobre todo de una composición un poco larga y compleja, los períodos y las frases que se suceden no se relacionan todas a la misma tónica.

Todas la sucesiones musicales suceptibles de ser vinculadas con una tónica determinada se dice que pertenecen a la misma tonalidad.

La Tonalidad puede entonces estar definida como: el conjunto de fenómenos musicales que la comprensión humana puede apreciar por comparación directa con un fenómeno constante -la tónica- tomada como término invariable de comparación.

La noción de tonalidad es extremadamente sutil, a causa de su carácter subjetivo: la misma varía en efecto, de acuerdo a la educación musical y el grado de perfección de nuestro entendimiento y capacidad de escuchar.

Se aplica entonces a los tres elementos de la música: sería posible que en algunas culturas donde el único carácter musical apreciable es el de la sucesión simétrica de ruidos, la tonalidad, simple unidad de tiempo, sea puramente rítmica.

Las monodías medievales, en las cuales las relaciones entre fórmulas decorativas accesorias y la nota principal se establecen sucesivamente, son concebidas en tonalidades exclusivamente melódicas.

Totalmente otra es nuestra tonalidad contemporánea, basada principalmente sobre la construcción armónica de períodos y de frases, es decir sobre los parentescos o afinidades que existen entre los sonidos, a razón de su resonancia harmónica natural, superior o inferior.

Para nosotros, la tonalidad resulta del valor armónico que atribuimos al acorde, y este valor debe necesariamente establecerse por comparación.

Toda comparación supone al menos dos términos diferentes: el acorde, para convertirse determinante de una tonalidad, debe entonces ser escuchado al menos dos veces, de dos formas diferentes y comparables.

Pero como el acorde queda idéntico a sí mismo mientras está generado en el mismo sentido, o en el mismo modo, por una nota prima determinada, o por sus octavas, hay que cambiar necesariamente esta nota prima, para obtener los dos términos diferentes de comparación, que sirven para establecer el valor armónico del acorde.

La misma razón que ha hecho preferir la relación de quinta a cualquier otra para la génesis de la escala se aplica quí a la génesis de la tonalidad: la quinta siendo el más simple de los intervalos reales (1/3), un sonido cualquiera es más facilmente comparable con su quinta, -aguda o grave-, que con cualquier otro, consecuentemente, la armonía natural de un sonido cualquiera es más facilmente comparable con el de su quinta, aguda o grave, que con cualquier otra.

La puesta en relación, por la emisión sucesiva de un acorde cualquiera con el de su quinta superior o inferior, constituye el mínimo necesario para el establecimiento de una tonalidad.

Las tres funciones tonales

Se nombra función tonal del acorde el carácter especial que este acorde toma en unestro entendimiento según se nos presenta:

1. como punto de partida o medida común

2. como determinante de una oscilación hacia la quinta superior

3. como determinante de una oscilación hacia la quinta inferior.

Las funciones tonales del acorde son entonces de tres tipos y rigurosamente simétricas en los dos modos.

En modo mayor (resonancia superior):

1. el acorde que sirve de punto de partida cumple la función de tónica

2. el acorde de quinta superior es llamado dominante

3. el acorde de quinta inferior es llamado subdominante

En modo menor (resonancia inferior), el acorde de origen cumple también la función de tónica, pero como tiene por prima su nota aguda, es el acorde de quinta inferior que juega el rol de dominante, y el acorde de la quinta superior el que tiene la función de subdominante.

El cuadro siguiente permite notar la perfecta simetría de las tres funciones tonales del acorde en cada uno de los modos.


La cadencia y sus diversos aspectos

Llamamos cadencias armónicas a las fómulas armónicas con la ayuda de las cuales aportamos al discurso musical los reposos provisorios o definitivos, comparables a los que determinan en el lenguaje los signos de puntuación. Estas fórmulas, en las cuales el aspecto varía al infinito, tiene todas por principio el encadenamiento del acorde en función de tónica a uno de las dos otras funciones.

Si el encadenamiento procede de la función de tónica a una de las dos otras, hay divergencia, el sentido de la frase es incompleto, la cadencia es llamada suspensiva.

En el caso contrario, es decir cuando el encadenamiento procede de la función de dominante o de la función de subdominante a la función de tónica, hay convergencia; la frase es completa, y la cadencia es llamada conclusiva.

Llamamos más particularmente, perfecta, a la cadencia de las dos que está formada de la dominante seguida de la tónica; plagal a la que se genera por la sucesión de las funciones de subdominante y de tónica.

La diferencia entre estas dos formas de la cadencia conclusiva no es otra cosa que una sustitución de modo, es decir, de un cambio de sentido.

En nuestro modo menor inverso, en efecto, el acorde en función de dominante (re-fa-La), teniendo por prima el quinto grado (LA), de la escala descendente del mi al mi, coincide precisamente con el acorde llamado subdominante (Re-fa-la), ubicado sobre el cuarto grado (Re) de la escala ascendente del la al la, en modo menor vulgar.

La verdadera cadencia perfecta consiste entonces en los encadenamientos siguientes:


y la verdadera cadencia plagal se constituye de la siguiente manera:


La cadencia perfecta menor (B) es una simple transposición en este modo de la plagal mayor (C), igualmente, la cadencia perfecta mayor (A) es una transposición en este modo de la plagal menor (D).

Finalmente, las dos formas siguientes:


provienen de una simple sustitución de modo, practicada solamente sobre una de las dos funciones tonales que forman la cadencia.

En cuanto a la otra (D´), la cual se ha convertido muy impropiamente en la cadencia perfecta del modo menor “moderno“, en realidad no es más que una plagal menor que toma de la misma manera la función de subdominante del modo mayor de misma tónica.

La única cadencia perfecta del modo menor es la que hemos establecido (B) simétricamente emparentada con la cadencia perfecta mayor (A). Es de hecho la única empleada en las las piezas musicales construidas sobre la verdadera escala menor inversa, hasta aproximadamente el SXVI; y esta cadencia impropiamente clasificada hoy en día como plagal, es la única que conviene verdaderamente al modo menor, basado en la resonancia armónica inferior.

La Cadencia es entonces, como el Acorde, único en su principio y variable en sus aspectos, en función del sentido según el cual se practique el movimiento de oscilación armónica que lo determina.

Este movimiento simétrico de la Cadencia en cada uno de los dos modos se torna más evidente aún cuando se agrega a la realización una quinta parte que contiene una nota de paso disonante.


El movimiento melódico de esta parte agregada muestra claramente que los aspectos de la Cadencia no son más que cambios de sentido*: descendente en las cadencias perfectas mayor (A) y plagal menor (D), y ascendente en las cadencias perfectas menor (B) y plagal mayor (C).

* [algunos autores han llamado “polaridad“ a estas transformaciones simétricas de la cadencia, a las que les cabría mejor la palabra “reversibilidad“]

Por lo tanto se verifica nuevamente la unidad de la cadencia, de donde las formas plagales (C, D) proceden respectivamente en sentido inverso de las formas perfectas (A, B), igual que las formas menores (B, D) proceden en sentido inverso de las formas mayores (A, C).

No es inútil remarcar que, en los ejemplos citados más arriba, las notas disonantes (Fa y Si en las cadencias perfectas, Re en las plagales) explican melódicamente las combinaciones que los tratados de armonía llaman acordes de séptima:


Si agregamos incluso a estos ejemplos la disonancia resultante del movimiento de la tónica a la subdominante:


tendremos ahora todas las especies de séptimas catalogadas en los tratados bajo bizarras y fantasiosas denominaciones.

En estas combinaciones, la verdadera disonancia, como se puede ver, es tanto hacia el agudo (A, D, E), tanto hacia el grave (B, C): esta particularidad demuestra más claramente aún la inexistencia de pretendidos acordes de séptima, simples juxtaposiciones pasajeras debidas al encadenamiento melódico de partes en movimiento.

El efecto de la cadencia es de precisar el sentido de movimiento con respecto a las funciones tonales del acorde, es decir, de determinar la Tonalidad en la cual un período o una frase de establece.

Queda por examinar por cuales elementos una tonalidad está constituida y en qué límites circunscripta.

Constitución de la tonalidad – Parentesco de los sonidos

Cada uno de los doce sonidos de nuestro sistema moderno puede servir de punto de partida a una tonalidad.

Ya que por el efecto de una cadencia expresada o sobreentendida, uno cualquiera de los doce sonidos reviste el carácter de tónica, todos los otros son susceptibles de ser puestos en relación con dicho sonido, es decir pertenecer a su tonalidad.

Existe en efecto entre un sonido elegido como tónica (Do mayor por ejemplo) y cada uno de los otros sonidos de la escala, un parentesco más o menos inmediato, una afinidad más o menos grande, basada a la vez en el orden de quintas y en la resonancia armónica.

Este parentesco o esta afinidad puede ser limitada a tres categorías diferentes:

1. el parentesco de primer orden vincula la tónica a su quinta, superior o inferior (DO a Sol, DO a Fa) y a sus armónicos naturales consonantes (Do a Mi y a Sol).

2. el parentesco de segundo orden vincula la tónica a los armónicos naturales consonantes de su quinta superior e inferior (DO a si y a re por Sol, DO a la, por Fa).

Así, la armonía de las tres funciones tonales (DO-mi-sol, tónica. Sol-si-re, dominante, Fa-la-do, subdominante) contienen todos los sonidos vinculados a la tónica por el parentesco de primer o segundo orden. Este conjunto constituye la tonalidad diatónica, es decir, un grupo de siete sonidos principales, que, llevados al orden de genérico de quintas, se suceden regularmente entre la subdominante y la sensible:


3. Pero la tonalidad diatónica, que no ocupa más que la mitad del ciclo de quintas, es esencialmente incompleta si no le agregamos los cinco sonidos, vulgarmente llamados cromáticos, que se suceden regularmente entre la sensible y la subdominante, y forman la otra mitad del ciclo:


Los cinco sonidos complementarios forman parte integrante de la tonalidad, pero no tienen un rol tan preponderante como los siete sonidos principales, llamados diatónicos, ya que su parentesco con la tónica es más lejano y más complejo.

Este parentesco de tercer orden se establece dependiendo del caso de diversas maneras, y se extiende principalmente:

a.- a los armónicos naturales consonantes de los sonidos vinculados a la tónica por el parentesco de segundo orden, por ejemplo:

fa#, armónico de re, pariente de DO por sol

re#, armónico de si, pariente de DO por Sol

do#, armónico de la, pariente de DO por Fa

b.- a los armónicos de modo distinto provenientes de sonidos vinculados a la tónica por el parentesco de primer o segundo orden, por ejemplo:

mib, armónico inferior de Sol, pariente de DO

sib, armónico de re, pariente de DO por Sol

etc.

Límite de la Tonalidad

El parentesco de tercer orden puede ser considerado como el límite extremo de la Tonalidad, en el estado actual de nuestra educación musical. (+ - 1900).

Los sonidos clasificados en esta categoría tienden a alejarse más y más de la tónica primitiva, y a entrar en relación con otras tónicas más cercanas de ellos, es decir, a modificar la Tonalidad, a modular. Esta tendencia modulante es debida a la inercia de nuestro entendimiento, que prefiere una operación más simple a una más complicada.

Es más fácil de hecho de darse de los sonidos vinculados a la tónica por parentesco de tercer orden, e impropiamente calificados por el uso como alterados o cromáticos, no siendo en absoluto extaños a la tonalidad establecida.

El principio de tonalidad permite entonces de emparentar, con la ayuda de la resonancia armónica y el orden de quintas, todos los sonidos de nuestra escala musical a uno solo de entre ellos: la Tónica.

Concebimos desde entonces la importancia extrema de este principio, que sirve de base a toda la armonía. Aplicación del principio de tonalidad al conocimiento de la armonía

La armonía, debido a la superposición de melodías distintas, no es más que la puesta en movimiento del Acorde, dado que este movimiento es una perpetua oscilación entre las quintas agudas y las quintas graves, entre las dominantes y las subdominantes. El conocimiento de la armonía se reduce entonces al discernimiento de tres funciones tonales del Acorde, con la ayuda de las cadencias, es decir, a la estricta aplicación del principio de tonalidad. Visto de esta manera, la noción de armonía es de las más simples y puede resumirse de la manera siguiente: 1.- no hay más que un acorde, el Acorde perfecto, único consonante, porque, sólo, da una sensación de reposo o equilibrio 2.- el Acorde se manifiesta bajo dos aspectos diferentes, el aspecto mayor y el aspecto menor, dependiendo de si está generado de lo grave a lo agudo o de lo agudo a lo grave 3.- el Acorde es susceptible de cumplir tres funciones tonales diferentes, dependiendo de si es Tónica, Dominante o Subdominante Todo el resto no es más que artificio: lo que estamos acostumbrados a llamar disonancia, no es más que la modificación pasajera aportada por el Acorde, ya sea por el agregado de notas melódicas, no teniendo con ellas el acorde perfecto más que un parentesco mediato, o que vuelven al mismo, por una o más notas melódicas de este acorde consonante. Toda disonancia o alteración no puede ser entendida o explicada más que melódicamente, ya que, destruyendo la sensación de reposo dada por el Acorde, llama a una sucesión o una continuidad melódica. Todas la combinaciones de sonidos que llamamos acordes disonantes provienen de sucesiones melódicas en movimiento, y pudiendo siempre ser llevadas a una de las tres funciones tonales del Acorde: Tónica, Dominante, Subdominante. Estas combinaciones necesitando, para ser examinadas, una detención artificial en las melodías que las constituyen, no tienen en absoluto existencia propia, porque haciendo abstracción del movimiento que las engendra, se suprime su única razon de ser. Toda consideración sobre los acordes, en ellos mismos o por ellos mismos, es entonces ajena a la música: este estudio muy interesante a dado lugar a teorías e incluso a descubrimientos de lo más curiosos. Pero, transportándolo del dominio de la ciencia al del arte, se ha propagado este error estético tan peligroso que consiste en clasificar los acordes, y establecer reglas diferentes para cada uno de ellos, dándoles por esto mismo una realidad distinta. Es por esto que los acordes se han convertido muy frecuentemente la meta de la música, cuando no deberían jamás ser más que un medio, una consecuencia, un fenómeno pasajero.

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